*** Maximum de vraisemblance

Une urne contient un très grand nombre de boules rouges et de boules noires, indiscernables au toucher. On note  `p`  la proportion de boules rouges dans cette urne.
On tire 20 fois, et avec remise, une boule dans cette urne et on note  `X`  le nombre de boules rouges obtenues.

1. Quelle est la loi de la variable aléatoire  `X`  ?

On effectue un tel tirage et on obtient alors 5 boules rouges. À partir de cette information, on souhaite déterminer le nombre de boules rouges dans l'urne en utilisant la méthode du maximum de vraisemblance : cette méthode consiste à déterminer la valeur de la proportion  `p`  pour laquelle la probabilité  `P(X=5)`  est maximale.

2. Exprimer  `P(X=5)`  en fonction de  `p` .

3. Pour tout réel  `x\in [0;1]` , on note  `f(x)=x^5(1-x)^{15}` . On admet que la fonction  `f`  ainsi définie est dérivable sur  `[0;1]` .
     a. Montrer que, pour tout réel  `x\in[0;1]` , on a : `f'(x)=-5x^4(4x-1)(1-x)^{14}` .
     b. En déduire que  `f`  admet un maximum sur  `[0;1]`  en une valeur que l'on précisera.

4. Conclure à l'aide des résultats précédents.